Eduard Melkus studierte Violine in Wien, Zürich und Paris sowie Musikwissenschaft an der Universität Wien. Als Mitglied des 1949 gegründeten Wiener Gamben-Quartetts gehörte er zum engeren Kreis von Musikern um Alice und Nikolaus Harnoncourt sowie Gustav Leonhardt und somit zur Pioniergeneration jener Musiker, die bald nach dem Zweiten Weltkrieg die Erforschung und Neubelebung der Alten Musik in Angriff nahmen. Bahnbrechend waren dabei seine Erkenntnisse über die Spielweise der Barockvioline und speziell über die Kunst der freien Auszierungen. In zahlreichen Schriften und Meisterkursen hat er dieses Wissen weitergegeben. So verfasste er 1973 ”Die Violine: Eine Einführung in die Geschichte der Violine und des Violinspiels”, das wiederholt neu aufgelegt wurde.
Ab 1958 war Eduard Melkus Professor für Violine, Barockvioline, Viola und historische Aufführungspraxis an der Wiener Musikakademie. 1982 übernahm er die Leitung des Instituts für Wiener Klangstil, die er bis 1996 innehatte. 1966 gründete Melkus die Capella Academica, ein Originalklangensemble auf der Basis einer Privatsammlung alter Streichinstrumente, die aufgrund seiner Initiative von der Akademie für Musik und darstellende Kunst in Wien erworben werden konnte. Zahlreiche Konzerte, Schallplatten- und CD-Einspielungen von mehr als 200 Werken des späten 17. bis hin zum ausgehenden 18. Jahrhundert mit seiner "Capella Academica" oder der französischen Cembalistin Huguette Dreyfus erschlossen ihm ein weltweites Publikum.
Außerhalb seines Fachgebietes brachte Eduard Melkus 1962 das ihm gewidmete Violinkonzert von Egon Wellesz zur Uraufführung. Der Musiker trat als Geiger mit seinen Ensembles und als Vortragender unter anderem bei einer Mozart-Konzertserie im Sommer 2011 in seiner Geburtsstadt Baden und in der Saison 2014/2015 im Rahmen des Konzertzyklus "Musik im Museum" auf.